Madhyamik 2025 Mathematics Question Paper

Special credit will be given for answers which are brief and to the point. Marks will be deducted for spelling mistakes, untidiness, and bad handwriting.

[১, ২, ৩, ৪ প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী উত্তরপত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে। এর জন্যে প্রয়োজনবোধে গণনা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন টেনে করতে হবে। কোনো প্রকার সারণি বা গণনা যন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না। গণনার প্রয়োজনে π-এর আসন্ন মান ²²⁄₇ ধরে নিতে হবে। গ্রাফ পেপার প্রশ্নপত্রের সাথেই দেওয়া হবে। পাটীগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে।]

১. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো: (১ × ৬ = ৬)

1. a : 2 = b : 5 হলে, a, b-এর কত শতাংশের সমান হবে?
   (a) 20%      (b) 30%      (c) 40%      (d) 50%
2. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য secθ, 1 এবং tanθ (θ ≠ 90°) হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের মান কত?
   (a) 30°      (b) 45°      (c) 60°      (d) 90°
3. ঊর্ধ্বক্রমে সাজানো 27, 31, 46, 52, x, y + 2, 71, 79, 85, 90 রাশি তথ্যের মধ্যমা 64 হলে (x + y)-এর মান—
   (a) 125      (b) 126      (c) 127      (d) 128
4. বার্ষিক x% হার সরল সুদে Y টাকার Z মাসের সুদ হবে—
   (a) ^XYZ⁄₁₂₀₀ টাকা      (b) ^XYZ⁄₁₀₀ টাকা      (c) ^XYZ⁄₂₀₀ টাকা      (d) ^XYZ⁄₁₂₀ টাকা
5. O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB একটি ব্যাস। AC জ্যা কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে ∠OCB-এর মান কত?
   (a) 20°      (b) 30°      (c) 40°      (d) 50°
6. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ ও একটি অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ সমান এবং তাদের আয়তনও সমান। চোঙটির উচ্চতা অপেক্ষা অর্ধগোলকটির উচ্চতা শতকরা কত বেশি?
   (a) 25%      (b) 50%      (c) 100%      (d) 200%

২. শূন্যস্থান পূরণ করো (যেকোনো পাঁচটি): (১ × ৫ = ৫)

1. যদি x(4 − √3) = y(4 + √3) = 1 হয়, তাহলে (x² + y²)-এর মান হবে ___________।
2. যদি sin²θ + 2x cos²θ = 1 হয়, তবে x-এর মান হবে _____________।
3. (p + q) সংখ্যক সংখ্যার গড় x, এর মধ্যে p সংখ্যক সংখ্যার গড় y হলে, অবশিষ্ট q সংখ্যক সংখ্যার গড় হবে _____________।
4. একটি ব্যবসায় পিন্টু আমনের 1½ গুণ টাকা দিল এবং ডেভিড আমনের 2½ গুণ টাকা দিল। আমন, পিন্টু ও ডেভিডের মূলধনের অনুপাত হবে ______________।
5. একই সমতলে অবস্থিত দুটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক সংখ্যা 3 হলে, বৃত্ত দুটি পরস্পরকে _____________ করবে।
6. r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলক থেকে সর্ববৃহৎ যে নিরেট শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে তার আয়তন __________।

৩. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যেকোনো পাঁচটি): (১ × ৫ = ৫)

1. 6x² + x + k = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি ²⁵⁄₃₆ হলে, k-এর মান হবে 12।
2. 0° < θ < 90° হলে sinθ < sin²θ হবে।
3. সংখ্যাগুরু মান = 2 × মধ্যমা − 3 × যৌগিক গড়।
4. একটি যৌথ ব্যবসায় দুই বন্ধুর মধ্যে একজন xyz টাকা y মাসের জন্য এবং অপরজন y²z টাকা x মাসের জন্য নিয়োজিত করে। চুক্তির শেষে তাদের লভ্যাংশের অনুপাত হবে x : y।
5. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ADB = x°, ∠ABD = y° হলে, ∠BCD = (x + y)° হবে।
6. একটি শঙ্কুর আয়তন x, ভূমির ক্ষেত্রফল y এবং উচ্চতা z হলে ^x⁄_yz-এর মান 3 হবে।

৪. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যেকোনো দশটি): (২ × ১০ = ২০)

1. দুটি সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমা যথাক্রমে 27 সেমি ও 16 সেমি; প্রথম ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সেমি হলে, দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
2. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের একটি বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে PS ও PT দুটি স্পর্শক টানা হলো। QS বৃত্তের একটি জ্যা যেটি PT-এর সমান্তরাল। ∠SPT = 80° হলে, ∠QST-এর মান কত?
3. ABCD আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OB = 6 সেমি, OD = 8 সেমি এবং OA = 5 সেমি। OC-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
4. sin(θ + 30°) = cos 15° হলে, cosθ-এর মান নির্ণয় করো।
5. cos⁴θ − sin⁴θ = ²⁄₃ হলে, (1 − 2sin²θ)-এর মান নির্ণয় করো।
6. একটি আয়তঘনের ধারের সংখ্যা x এবং তলের সংখ্যা y হলে, a-এর সর্বনিম্ন মান কত হলে (x + y + a) একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
7. দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 3 এবং উচ্চতার অনুপাত 5 : 3 হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
8. প্রথম (2n + 1) সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যমা ^{(n + 103)}⁄₃ হলে, n-এর মান নির্ণয় করো।
9. বার্ষিক সরল সুদের হার 5.5% থেকে কমে 4.5% হওয়ায় এক ব্যক্তির প্রাপ্য বার্ষিক সুদ 250 টাকা কমে যায়। ব্যক্তির মূলধন কত?
10. কোনো ব্যবসায় A ও B-এর মূলধনের অনুপাত 3 : 2; মোট লাভের 5% দান করার পর B-এর প্রাপ্য লভ্যাংশ 798 টাকা হলে, মোট লাভ কত?
11. ^x⁄₂ = ^y⁄₃ = ^z⁄₄ হলে, ^{(3x + 4y + 8z)}⁄_{(x + 3y)}-এর মান নির্ণয় করো।
12. x ∝ √y এবং y = a² হলে x = 2a হয়; x² : y-এর মান নির্ণয় করো।

৫. যেকোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (৫ × ১ = ৫)

1. কোনো যৌথ ব্যবসায় সমর ও মহিমের প্রত্যেকের প্রারম্ভিক মূলধন ২০,০০০ টাকা। ৬ মাস পরে সমর আরও ৫,০০০ টাকা বিনিয়োগ করলেন কিন্তু মহিম ৫,০০০ টাকা তুলে নিলেন। বৎসরান্তে মোট ৩২,০০০ টাকা লাভ হলে, কে কত লভ্যাংশ পাবেন?
2. ২১,৮৬৬ টাকাকে এমন দুটি অংশে ভাগ করে জমা রাখো, যাতে প্রথম অংশের ৩ বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি, দ্বিতীয় অংশের ৫ বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধির সমান হয় (বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার ৫% ধরে)।

৬. যেকোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (৩ × ১ = ৩)

1. ১৬-কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করো যেন বৃহত্তর অংশের বর্গের দ্বিগুণ ক্ষুদ্রতর অংশের বর্গের চেয়ে ১৬৪ বেশি হয়।
2. সমাধান করো:
   
   ^{(x − 3)}⁄_{(x + 3)} + ^{(x + 3)}⁄_{(x − 3)} = 2½   (x ≠ ±3)

৭. যেকোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (৩ × ১ = ৩)

1. যদি (x³ − ¹⁄_y³) ∝ (x³ + ¹⁄_y³) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, x ∝ ¹⁄_y।
2. যদি x = ^4√15⁄_{(√5 + √3)} হয়, তবে ^{(x + √20)}⁄_{(x − √20)} + ^{(x + √12)}⁄_{(x − √12)}-এর মান নির্ণয় করো।

৮. যেকোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (৩ × ১ = ৩)

1. যদি (b + c − a)x = (c + a − b)y = (a + b − c)z = 2 হয়, তবে প্রমাণ করো যে:
   (¹⁄_x + ¹⁄_y)(¹⁄_y + ¹⁄_z)(¹⁄_z + ¹⁄_x) = abc
2. ^x⁄_y = ^{(a + 2)}⁄_{(a − 2)} হলে, ^{(x2 − y2)}⁄_{(x² + y²)}-এর মান নির্ণয় করো।

৯. যেকোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (৫ × ১ = ৫)

1. প্রমাণ করো যে, যেকোনো বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।
2. পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি বিবৃত করো এবং প্রমাণ করো।

১০. যেকোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (৩ × ১ = ৩)

1. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB একটি ব্যাস। বৃত্তের পরিধির উপরিস্থিত যেকোনো বিন্দু P থেকে AB-এর ওপর PN লম্ব অঙ্কন করা হলো। জ্যামিতিক যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করো যে, PB² = AB · BN।
2. ΔABC-এর পরিকেন্দ্র O এবং OD ⊥ BC হলে প্রমাণ করো যে, ∠BOD = ∠BAC।

১১. যেকোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (৫ × ১ = ৫)

1. জ্যামিতিক পদ্ধতিতে 2√3-এর মান নির্ণয় করো। (কেবল অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে)
2. 6 সেমি, 8 সেমি ও 10 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করে ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করো। (কেবল অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে)

১২. যেকোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (৩ × ২ = ৬)

1. যদি sin x = m sin y এবং tan x = n tan y হয়, তবে দেখাও যে, cos²x = ^{(m2 − 1)}⁄_{(n² − 1)}।
2. tanθ = ⁵⁄₇ হলে, ^{(5sinθ + 7cosθ)}⁄_{(7sinθ + 5cosθ)}-এর মান নির্ণয় করো।
3. একটি বৃত্তের অসমান দৈর্ঘ্যের দুটি চাপের অনুপাত 5 : 2। বৃত্তচাপ দুটি কেন্দ্রে যে দুটি কোণ ধারণ করে, তাদের দ্বিতীয়টির মান 30° হলে প্রথম কোণটির বৃত্তীয় মান কত?

১৩. যেকোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (৫ × ১ = ৫)

1. মাঠের মাঝখানে দাঁড়িয়ে হাবু একটি উড়ন্ত পাখিকে প্রথমে উত্তর দিকে 30° উন্নতি কোণে এবং ২ মিনিট পর দক্ষিণ দিকে 60° উন্নতি কোণে দেখতে পেল। পাখিটি যদি সর্বদা 50√3 মিটার উচ্চতায় একই সরলরেখা বরাবর অনুভূমিকভাবে উড়তে থাকে, তবে তার গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিলোমিটার?
2. দুটি স্তম্ভের মধ্যবর্তী অনুভূমিক দূরত্ব 150 মিটার এবং একটির উচ্চতা অপরটির তিনগুণ। স্তম্ভদ্বয়ের পাদদেশ সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু থেকে তাদের শীর্ষের উন্নতি কোণদ্বয় পরস্পর পূরক হলে, ছোট স্তম্ভটির উচ্চতা কত?

১৪. যেকোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (৪ × ২ = ৮)

1. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল 154√2 বর্গ সেমি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সেমি হলে, শঙ্কুটির শীর্ষকোণের পরিমাপ নির্ণয় করো।
2. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা উহার ভূমির ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। যদি উচ্চতা ব্যাসার্ধের 6 গুণ হতো, তবে চোঙটির আয়তন 539 ঘন ডেসিমি বেশি হতো। চোঙটির উচ্চতা নির্ণয় করো।
3. 12 সেমি ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট সীসার গোলক গলিয়ে তিনটি ছোট নিরেট সীসার গোলক তৈরি করা হলো। ছোট গোলকগুলির ব্যাসের অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে, তাদের প্রতিটির ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।

১৫. যেকোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: (৪ × ২ = ৮)

1. একটি কর্মসূচিতে উপস্থিত 100 জন ব্যক্তির বয়সের বণ্টন নীচে দেওয়া হলো। যেকোনো পদ্ধতি প্রয়োগ করে তাদের গড় বয়স নির্ণয় করো:

   বয়স (বছরে)	10–20	20–30	30–40	40–50	50–60	60–70
   লোকসংখ্যা	8	12	20	22	18	20

2. নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটির মধ্যমা 32 এবং মোট পরিসংখ্যা (x + y) = 100 হলে, x ও y-এর মান নির্ণয় করো:

   শ্রেণি-সীমা	0–10	10–20	20–30	30–40	40–50	50–60
   পরিসংখ্যা	10	x	25	30	y	10

3. প্রদত্ত তথ্যের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (ক্ষুদ্রতর সূচক) সারণি তৈরি করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন করো:

   শ্রেণি-সীমা	0–10	10–20	20–30	30–40	40–50	50–60	60–70
   পরিসংখ্যা	1	6	15	20	15	6	1